Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формулы сложения вероятностей
Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В - несовместные события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB),
где А и В - совместные события.
Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р A (B),
где Р A (B) - вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.
Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности.
Решение.
Испытание - Производится два выстрела по мишени.
Событие А
- оба раза промахнулся.
Событие В
- попал один раз.
Событие С
- оба раза попал.
.
Контроль: P(A) +
P(B) +
P(C) =
1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?
Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?
Решение.
Событие А
– первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В
– второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем
Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные.
Решение.
Пусть событие - изделие высшего сорта; событие - изделие первого сорта; событие - изделие второго сорта.
По условию задачи ; ; События - независимы.
а) Событие А
– только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда
б) Событие В
– все три изделия различны - выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=
0,8; p2
=0,7; p3
=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А
) при одном залпе из всех орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А
).
Решение.
События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность .
Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение.
Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1 p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Зависимые и независимые события
Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам – тонкостей тоже хватает. В добрый путь:
Теорема сложения вероятностей несовместных событий : вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого) , равна сумме вероятностей этих событий:
Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :
Теорема-мечта =) Однако, и такая мечта подлежит доказательству, которое можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана.
Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:
Зависимые и независимые события
Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:
Теорема умножения вероятностей независимых событий
: вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:
Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.
Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и
на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий
!)
. Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы.
Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и
на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и
на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и
на 2-й орёл.
Заметьте, что события образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .
Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: . Потренируемся на конкретных примерах:
Задача 3
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению:
– соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ : 0,504
После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:
Задача 4
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» ;-) Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.
Зависимые события . Событие называют зависимым , если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:
– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.
Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным . Таким образом, событие является зависимым .
Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:
– на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.
Как определить зависимость/независимость событий?
Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.
Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:
Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий
Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:
Задача 5
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.
Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.
По условию: .
Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:
а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:
1-й стрелок попадёт и
2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и
2-й попадёт.
На языке алгебры событий
этот факт запишется следующей формулой:
Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что будет только одно попадание.
б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.
Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:
попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов)
или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .
Таким образом:
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и
2-й стрелок попадёт.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.
Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
В результате:
Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.
Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.
! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.
Способ третий
: события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий
). По теореме сложения вероятностей совместных событий
и теореме умножения вероятностей независимых событий:
Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно)
образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.
Ответ :
При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:
Решение
: по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:
а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.
б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.
Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
Ответ :
На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.
Похожие задачи для самостоятельного решения:
Задача 6
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:
а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу
, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения)
.
Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.
Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами)
Задача 7
Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?
А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления.
Знакомьтесь – он самый, который настрогал для вас немереное количество деталей =):
Задача 8
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:
а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.
Решение : коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.
По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:
По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:
Один из читателей обнаружил тут прикольную опечатку, даже исправлять не буду =)
а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.
б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:
1) 1-й станок потребует
внимания и
2-й станок не потребует
и
3-й станок не потребует
или
:
2) 1-й станок не потребует
внимания и
2-й станок потребует
и
3-й станок не потребует
или
:
3) 1-й станок не потребует
внимания и
2-й станок не потребует
и
3-й станок потребует
.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.
Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение
в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.
Ответ :
Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .
Задача 9
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.
Решение и ответ в конце урока.
И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.
В заключение статьи разберём ещё одну распространённую головоломку:
Задача 10
Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.
Решение
: обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.
И таки распишем события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.
По условию , тогда вероятность противоположного события:
С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:
Таким образом:
– вероятность промаха при каждом выстреле.
В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.
Ответ : 0,7
Просто и изящно.
В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:
Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.
Пусть события А и В ― несовместные, причем вероятности этих событий известны. Вопрос: как найти вероятность того, что наступит одно из этих несовместных событий? На этот вопрос ответ дает теорема сложения.
Теорема. Вероятностьпоявления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
p (А + В ) = p (А ) + p (В ) (1.6)
Доказательство. Действительно, пусть n – общее число всех равновозможных и несовместных (т.е. элементарных) исходов. Пусть событию А благоприятствует m 1 исходов, а событию В – m 2 исходов. Тогда согласно классическому определению вероятности этих событий равны: p (А ) = m 1 / n , p (B ) = m 2 / n .
Так как события А и В несовместные, то ни один из исходов, благоприятствующих событию А , не благоприятствует событию В (см. схему ниже).
Поэтому событию А +В будут благоприятствовать m 1 + m 2 исходов. Следовательно, для вероятности p (А + В ) получим:
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:
p (А ) + p (В ) + p (С ) + … + p (D ) = 1.
Действительно, пусть события А , В , С , … , D образуют полную группу. В силу этого они являются несовместными и единственно возможными. Поэтому событие А + В + С + …+ D , состоящее в появлении (в результате испытания) хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т.е. А+В+С+…+ D = и p (А+В+С+ …+ D ) = 1.
В силу несовместности событий А , В , С , … , D справедлива формула:
p (А+В+С+ …+ D ) = p (А ) + p (В ) + p (С ) + … + p (D ) = 1.
Пример. В урне 30 шаров, из них 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения красного или синего шара при условии, что из урны извлекли только один шар.
Решение. Пусть событие А 1 – извлечение красного шара, а событие А 2 – извлечение синего шара. Данные события несовместны, причём p (А 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p (А 2) = 5 / 30 = 1 /6. По теореме сложения получим:
p (А 1 + А 2) = p (А 1) + p (А 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.
Замечание 1. Подчеркнём, что по смыслу задачи необходимо прежде всего установить характер рассматриваемых событий – являются ли они несовместными. Если приведённую теорему применять к совместным событиям, то результат получится неверным.
Тип занятия:
изучение нового материала.
Учебно-воспитательные задачи:
- дать понятие о случайном событии, вероятности события;
- научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;
- научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;
- продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;
- прививать интерес к математике, используя исторический материал;
- воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.
Обеспечение занятия:
- карточки-задания для индивидуального опроса;
- карточки-задания для проверочной работы;
- презентация.
Студент должен знать:
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.
Студент должен уметь:
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.
Мотивация познавательной деятельности студентов.
Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с работами Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших чисел. Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-1754) , К. Гаусса, П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире теорию вероятностей стали называть “Русской наукой”. В средине 20-х годов А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской премии, международной премии им. Б. Больцано, члена ряда зарубежных академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН УССР Б.В. Гнеденко, акад. Ю.В. Прохоров, Б.А. Севастьянов и др.).
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории автоматического регулирования привело к необходимости решать многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.
Ход занятия.
I . Организационный момент.
II
. Проверка домашнего задания
Провести фронтальный опрос в виде ответов на вопросы:
Проверить решение упражнений:
- Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
- Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
- 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
III
. Изучение нового материала.
В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.
Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные эксперименты.
Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо прикладными науками.
Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже упоминалось выше, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.
Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе ученик должен научиться эти модели строить,
анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования
В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: событие называется случайным
, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».
В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие
(например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о его случайности.
Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют случайным опытом
или случайным экспериментом
.
В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом
. До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе:
- невозможные , которые никогда не могут произойти;
- достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.
Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» - невозможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» - достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
События называются несовместными,
если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными
, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного шара не исключает появление белого при том же испытании). События называются противоположными,
если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Обозначения:
Случайные события (большими буквами латинского алфавита): A,B,C,D,.. (или ). “Случайные” опускают и говорят просто “события”.
Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события – m;
Число всех исходов (опытов) – n.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью
события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
–
вероятность случайного события
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0≤P(A)≤1
Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1
Теоремы сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1
Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью
события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)-(B)=(B).
События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.
Теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A) P(B)
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P()=P() P()… P().
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)
IV
. Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение:
Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)== = 0,2 = 0,147
Задача 4
.
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.
Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно
Задача 6.
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение:
Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083
Задача
7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение:
Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1.
- Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?
- Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?
Вариант 2.
- Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30?
- В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?
VI . Подведение итогов занятия.
VII
. Домашнее задание:
Г.Н. Яковлев, математика, книга 2, § 24.1, 24.2, стр. 365-386. Упражнения 24.11, 24.12, 24.17
Тип задания: 4
Условие
Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.
Показать решениеРешение
Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.
Ответ
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Условие
Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.
Показать решениеРешение
Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Условие
На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.
Показать решениеРешение
Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).
Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.
Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Условие
Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.
Показать решениеРешение
Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).
Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Условие
В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.
Показать решениеРешение
Сначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap B , пересечение событий A и B , его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Условие
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25 . Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3 . Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.